Этот тип задач встречается на олимпиадах, а иногда — на экзаменах.
Даны несколько сосудов разной емкости. Наполнить сосуды можно из крана. Лишнюю воду можно выливать в раковину. Необходимо, переливая воду из сосуда в сосуд, отмерить заданное количество воды, которое не совпадает с объемом данных сосудов.
Решите несколько задач с помощью тренажера …
(Нажмите на крестик в середине экрана, чтобы закрыть рекламное окно, а затем – на кнопку “Играть”)
Как решать задачи на переливание ...
Даны 2 кувшина вместимостью 8 и 5 литров. Имеется кран с водой и мойка для слива воды. Как с помощью этих двух кувшинов отмерить ровно 6 литров воды?
Задачу можно оформить в виде следующей таблицы:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 8 л. (А) | 0 л. | 8 л. | 3 л. | 3 л. | 0 л. | 8 л. | 6 л. | 6 л. |
| 5 л. (B) | 0 л. | 0 л. | 5 л. | 0 л. | 3 л. | 3 л. | 5 л. | 0 л. |
Первый сосуд обозначим через А, а второй – через B.
- Вначале оба кувшина пусты (первый черный столбец).
- Наполним водой кувшин А (второй столбец),
- а затем перельем из него воду в кувшин В (третий столбец).
- Потом эти 5 литров из кувшина В выльем в раковину (четвертый столбец).
- Затем 3 литра воды из кувшина А перельем в кувшин В (пятый столбец).
- Вновь наполним кувшин А водой из под крана (шестой столбец)
- и дольем из него в кувшин В 2 литра, наполнив его до краев (седьмой столбец столбец).
- Выливаем из кувшина В содержимое в раковину (восьмой столбец) – задача решена!
Суть метода математического бильярда
Математический бильярд
По этому методу (который позволяет легко решать задачи данного типа) надо начертить бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма.
Рассмотрим решение предыдущей задачи.
Стороны параллелограмма должны иметь длины 5 и 8 единиц.
По одной стороне будем откладывать количество воды в литрах в 8-литровом кувшине, а по другой – в 5-литровом кувшине (см. рис).
Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку параллелограмма. После удара о стороны параллелограмма, шар отражается от точки соударения и продолжает движение по прямой, выходящей из этой точки. При этом сама точка характеризует, сколько воды находится в каждом из кувшинов.
Сначала, шар находится в точке (0,0) и в кувшинах воды нет. Затем он перемещается вдоль нижнего основания параллелограмма, пока не достигнет правой боковой стороны в точке (8,0). Это означает, что 8-литровый кувшин наполнен водой полностью, а 5-литровый – пуст.
Отразившись, шар движется вверх и влево, и ударяется о верхний борт (верхнюю сторону параллелограмма) в точке (3,5). Это значит, что в 8-литровом кувшине осталось всего 3 литра воды, а 5 литров перелили в 5-литровый кувшин.
Прослеживая дальнейший маршрут шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока шар не попадет в точку (6,0) нижнего борта, мы получим решение этой задачи.
Три сосуда
Рассмотрим задачу о трёх сосудах, сумма содержимого которых постоянна.
Бидон емкостью 9 литров заполнен молоком, бидоны объемом 8 литров и 5 литров пусты. Требуется получить 6 литров молока. Ясно, что по методу математического бильярда мы не сможем попасть в те точки параллелограмма, которые задают множество возможных состояний системы, в которых сумма координат превосходит 9.
Решение этой задачи методом математического бильярда предполагает использование так называемых трилинейных координат.
Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной a и высотой h=a* корень (3/2)
В нашем случае сторона треугольника a=9*2/корень(3) и высотойh=9. Линиями, параллельными сторонам треугольника, разобьём его на правильные треугольники с единичной высотой.
спс